ψ[x_,t_]=({{\[Piecewise], ({{Inc[x-(Subscript[v, 1])t]+Ref[x+(Subscript[v, 1])t], x≤0}, {Tra[x-(Subscript[v, 2])t], 0<x}})}});

(* Continuity *)
(Inc[x-(Subscript[v, 1])t]+Ref[x+(Subscript[v, 1])t]==Tra[x-(Subscript[v, 2])t])/.x->0

(* must be proportional *)
Ref[+t (Subscript[v, 1])]==r Inc[-t (Subscript[v, 1])]
Tra[-t (Subscript[v, 2])]==(1+r) Inc[-t (Subscript[v, 1])]

(* therefore *)
Ref[z]==r Inc[-z]
Tra[z]==(1+r) Inc[((Subscript[v, 1])/(Subscript[v, 2]))z]

(* Smoothness *)
Solve[(∂_x)(Inc[x-(Subscript[v, 1])t]+r Inc[-(x+(Subscript[v, 1])t)]==(1+r) Inc[((Subscript[v, 1])/(Subscript[v, 2]))(x-(Subscript[v, 2])t)])/.x->0,r]

Inc[x_]=({{\[Piecewise], ({{(((E^(-(1/(((6+x))^2))))(E^(-(1/(((4+x))^2)))))/((E^(-(1/(((6-5))^2))))(E^(-(1/(((4-5))^2)))))), (((x+5))^2)<1}, {0, True}})}});
(Subscript[v, 1])=1;
(Subscript[v, 2])=1;
Ref[z_]=(((Subscript[v, 2])-(Subscript[v, 1]))/((Subscript[v, 1])+(Subscript[v, 2])))Inc[-z];
Tra[z_]=((2 (Subscript[v, 2]))/((Subscript[v, 1])+(Subscript[v, 2])))Inc[((Subscript[v, 1])/(Subscript[v, 2]))z];
ψ[x_,t_]=({{\[Piecewise], ({{Inc[x-(Subscript[v, 1])t]+Ref[x+(Subscript[v, 1])t], x≤0}, {Tra[x-(Subscript[v, 2])t], 0<x}})}});
Animate[Plot[ψ[x,t],{x,-10,10},PlotRange->{-2,2},MaxRecursion->5,Filling->Axis],{t,0,10},AnimationRunning->False]